자취의 방정식 (3)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

원을 점에 대칭시키면

그냥 원이죠 뭐...

 

원그리기가

세상에서 젤 어렵다는... ;;

 

 

 

문제)

원 $x^2+y^2-4 x-6 y+9=0$ 을

점 (4, 1)에 대칭시킨 자취의 방정식은?

 

자취의 방정식

벌써(?) 세 번째인데

감이 잡히고 있는 거죠..?!

 

아무점이나 딱 한 점만 대칭시킵니다.

 

그리고

원 위의 점을 (a, b)

이 점을 대칭시킨 점을 (x, y)로 놓고

x와 y의 관계식을 구합니다.

 

구해보면

 

점 (4, 1)은

두 점 (a, b), (x, y)의 중점이므로

 

$\frac{a+x}{2}=4$
$\frac{b+y}{2}=1$

 

a와 b에 대한 식으로 각각 정리하면

 

$a=8-x$

$b=2-y$

 

그리고... 점 (a, b)는

원 $x^2+y^2-4 x-6 y+9=0$ 위의 점이므로

 

$a^2+b^2-4 a-6 b+9=0$

 

이 식에

위에서 구한 a, b를 대입하고

 

$(8-x)^2+(2-y)^2-4(8-x)-6(2-y)+9=0$

 

정리하면

 

$x^2+y^2-12 x+2 y+33=0$

 

이 놈이 바로

우리가 구하려는 자취의 방정식입니다.

 

 

 

그런데

원의 특성상(?) 다르게 구하기도 하죠.

 

주어진 원의 중심 (2, 3)을

 

$\begin{aligned} & x^2+y^2-4 x-6 y+9=0 \\ & (x-2)^2+(y-3)^2=4\end{aligned}$

 

(4, 1)에 대칭시키면 (6, -1)이 나옵니다.

('자취의 방정식 (1)'을 참고해 주세요~)

 

이 점 (6, -1)이

자취의 방정식(원)의 중심이 되고

 

원 $(x-2)^2+(y-3)^2=4$ 의

반지름의 길이가 2이므로

 

자취의 방정식(원)의

반지름의 길이도 2

 

정리하면

 

우리가 구하려는 자취의 방정식은

중심의 좌표는 (6, -1)이고

반지름의 길이가 2인 원..!!

 

$(x-6)^2+(y+1)^2=4$

 

풀어서 써보면

 

$x^2+y^2-12 x+2 y+33=0$

 

처음에 식으로 구한 것과 결과가 같습니다.

당연히..!! ^-^//

 

 

 

▶ 수학 전체 목록 바로가기  →  www.gajok.co.kr/math.html