자취의 방정식 (4)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

문제)

점 P가 직선 x+y-1=0 위를 움직일 때

점 A(3, 2)와 점 P를 이은 선분 AP를 2:1로 내분하는 점 Q의

자취의 방정식은?

 

점 P를 (a, b)

점 Q를 (x, y)로 놓고 시작하는 거... 이제 다~ 아는 거죠..?! ;;

 

점 Q는 선분 AP를 2:1로 내분하는 점이므로

 

$x=\frac{2 a+3}{3}$
$y=\frac{2 b+2}{3}$

 

a와 b에 대한 식으로 각각 정리하면

 

$a=\frac{3 x-3}{2}$
$b=\frac{3 y-2}{2}$

 

그리고

점 (a, b)는 직선 x+y-1=0 위의 점이므로

 

$a+b-1=0$

 

이 식에

위에서 구한 a, b를 대입하고

 

$\frac{3 x-3}{2}+\frac{3 y-2}{2}-1=0$

 

정리하면

 

$3x+3y-7=0$

 

이 놈이 바로

우리가 구하려는 자취의 방정식입니다.

 

 

 

그냥 이렇게 풀면 되는데

풀이가 번거롭고 귀찮다고

일부 학생들은 편법(?)으로도 풉니다.

 

일단

선분 AP를 2:1로 내분하는 점의 자취는

주어진 직선과 평행하다는 거..!!

 

직선 위에 아무 점이나 하나 잡고 (저는 (1, 0)으로 잡았슴다.)

2:1로 내분하는 점의 좌표를 구해보면

 

따라서

자취의 방정식을 구하라는 이 문제는

 

직선 $x+y-1=0$ 에 평행하고

$\left(\frac{5}{3}, \;\frac{2}{3}\right)$ 를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.

라는 문제와 똑같습니다.

 

구해보면

('일차함수 (3)'을 참고해 주세요~)

 

$x+y-1=0$ 에 평행하므로

$x+y+c=0$ 으로 놓고

 

$\left(\frac{5}{3}, \;\frac{2}{3}\right)$ 를 대입해서 c의 값을 구하면

$\frac{5}{3}+\frac{2}{3}+c=0 \;\;\rightarrow\;\; c=-\frac{7}{3}$

 

따라서

우리가 구하려는 직선의 방정식은

 

$x+y-\frac{7}{3}=0$

 

정리하면

 

$3x+3y-7=0$

 

위에서 구했던 자취의 방정식이

똑같이 나옵니다.

 

 

 

의심 많은 여러분을 위해서

다른 점으로 다시 한 번 풀어보면

 

이번에는

 

(1, 0) 대신에 (-2, 3)으로

2:1로 내분하는 점의 좌표를 구해보면

 

$x+y+c=0$ 으로 놓고

 

$\left(-\frac{1}{3}, \;\frac{8}{3}\right)$ 를 대입해서 c의 값을 구해봐도

$-\frac{1}{3}+\frac{8}{3}+c=0 \;\;\rightarrow\;\; c=-\frac{7}{3}$

 

c의 값에는 변함이 없습니다~ ^-^//

 

 

 

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