자취의 방정식 (5)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

문제)

점 P가 곡선 y=x²+2x+5 위를 움직일 때,

점 A(3, 2)와 점 P를 이은 선분 AP를 2:1로 내분하는 점 Q의

자취의 방정식은?

 

똑같은 문제가 계속 나와서 지겨운가요?

그래도 할 건 해야겠죠..?! ;;

 

점 P를 (a, b)

점 Q를 (x, y)로 놓고 시작합니다~

 

점 Q는

선분 AP를 2:1로 내분하는 점이므로

 

$x=\frac{2 a+3}{3}$
$y=\frac{2 b+2}{3}$

 

a와 b에 대한 식으로 각각 정리하면

 

$\begin{aligned} & a=\frac{3 x-3}{2} \\ & b=\frac{3 y-2}{2}\end{aligned}$

 

그리고... 점 (a, b)는

곡선 $y=x^2+2 x+5$ 위의 점이므로

 

$b=a^2+2 a+5$

 

이 식에

위에서 구한 a, b를 대입하고

 

$\frac{3 y-2}{2}=\left(\frac{3 x-3}{2}\right)^2+2 \cdot \frac{3 x-3}{2}+5$

 

정리하면

 

$y=\frac{3}{2} x^2-x+\frac{7}{2}$

 

이 놈이 바로

우리가 구하려는 자취의 방정식입니다.

 

 

 

그런데 이 문제를

대칭시킨 자취의 방정식을 구할 때처럼 (자취의 방정식 (2))

 

주어진 곡선의

꼭지점의 좌표 (-1, 4)를 구하고

 

$\begin{aligned} y & =x^2+2 x+5 \\ & =(x+1)^2+4\end{aligned}$

 

(3, 2)와 (-1, 4)를

2:1로 내분하는 점을 구해서

 

꼭지점의 좌표는 $\left(\frac{1}{3}, \;\frac{10}{3}\right)$ 이고

이차항의 계수가 1인 이차함수

 

$\begin{aligned} y & =\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{10}{3} \\ & =x^2-\frac{2}{3} x+\frac{31}{9}\end{aligned}$

 

이렇게 구하면 안 돼욧..!!

 

 

 

대칭시킬 때는

처음 그래프와 자취의 그래프의 폭이 같게 움직이지만

 

내분할 때는

처음 그래프와 자취의 그래프의 폭이 달라지거든요..!!

 

다시 말해

 

처음 주어진 방정식의 이차항의 계수가 1이라고 해서

 

$y=1 \cdot x^2+2 x+5$

 

우리가 구하려는

자취의 방정식의 이차항의 계수가 1이라는 보장은 없다는 말씀..!!

 

위에서 구한 답(자취의 방정식)을 보면

 

$y=\frac{3}{2} x^2-x+\frac{7}{2}$

 

이차항의 계수가

1이 아니라 $\frac{3}{2}$ 인 걸 확인할 수 있습니다.

 

이것저것 헷갈리면

 

대칭시킨 자취의 방정식이든

내분한 자취의 방정식이든

 

그냥

자취의 방정식을 구하는 순서대로 구하면 됩니다.

 

괜히 조금 편하려다가

틀리는 것보단 낫잖아요. ;;

 

 

 

그래도 난 곧 죽어도

다른 방법으로 구해야겠다면

 

곡선 위에 아무 점이나 하나 잡고

내분점을 구합니다.

 

(0, 5)를 잡으니 (1, 4)가 나오네요.

 

그럼

우리가 구하려는 자취의 방정식은

 

꼭지점의 좌표가 $\left(\frac{1}{3}, \;\frac{10}{3}\right)$ 이고

점 (1, 4)를 지나는 이차함수입니다.

 

$y=a\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{10}{3}$ 으로 놓고

(1, 4)를 대입해서 a의 값을 구하면

$a=\frac{3}{2}$

 

따라서

우리가 구하려는 자취의 방정식은

 

$\begin{aligned} y & =\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{10}{3} \\ & =\frac{3}{2} x^2-x+\frac{7}{2}\end{aligned}$

 

처음에 구한 자취의 방정식과 같습니다..!!

휴우~ ^-^// ;;

 

 

 

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