일차함수 (3)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

기울기가 2이고

(3, 1)을 지나는 직선의 방정식은?

 

풀이1)

y=2x+b로 놓고

(3, 1)을 대입하면 b=-5  →  y=2x-5

 

풀이2)

y-1=2(x-3)  →  y=2x-5

 

중학생은 풀이1

고등학생은 풀이1, 풀이2 아무거나...

 

 

 

문제1)

y=-2x+1에 평행하고

(1, -5)를 지나는 직선의 방정식은?

 

평행하니까 기울기는 같습니다.

따라서, 기울기는 -2

 

기울기가 -2이고

(1, -5)를 지나는 직선의 방정식은

 

y+5=-2(x-1)  →  y=-2x-3

 

 

 

문제2)

y=-2x+1에 수직이고

(1, -5)를 지나는 직선의 방정식은?

 

두 직선의 기울기의 곱이 -1이면 수직이므로

구하려는 직선의 기울기는 $\frac{1}{2}$

 

기울기가 $\frac{1}{2}$이고

(1, -5)를 지나는 직선의 방정식은

 

$\begin{aligned}&y+5=\frac{1}{2}(x-1)\\&y=\frac{1}{2} x-\frac{11}{2}\end{aligned}$

 

 

 

문제3)

3x+2y-1=0에 평행하고

(1, -5)를 지나는 직선의 방정식은?

 

주어진 식을 바꾸면

 

$ \begin{aligned} y=-\frac{3}{2} x+\frac{1}{2} \end{aligned} $

 

기울기가 $-\frac{3}{2}$이고

(1, -5)를 지나는 직선의 방정식은

 

$\begin{aligned} & y+5=-\frac{3}{2}(x-1) \\ & y=-\frac{3}{2} x-\frac{7}{2} \\ & 3 x+2 y+7=0\end{aligned}$

 

나쁘지 않은 풀이고

대부분의 문제집도 이렇게 풀어놨지만

 

그래도 좀

편하고 간단하고 풀어볼께요.

 

3x+2y-1=0에평행하다고 하면

x와 y의 계수를 똑같이 놓습니다. 요렇게

 

3x+2y+c=0

 

그래야 아래식이 성립하거든요.

 

$ \begin{aligned} \frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}} \end{aligned} $

 

이 말이 이해 안 되면

'일차함수 (2)'를 한 번 읽고 오세요~

 

암튼 그래서

여기에 (1, -5)를 대입하면

 

c=7

 

따라서

구하려는 직선의 방정식은

 

3x+2y+7=0

 

풀이가 많이 편하고 간단합니다.

 

그래서 저는 무조건 이 방식으로 풀고

이 방식을 추천합니다.

 

참고로

 

3x+2y+c=0

이렇게 놓지않고

 

6x+4y+c=0, 30x+20y+c=0 등등

다르게 놓고 시작해도

 

$ \begin{aligned} \frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}} \end{aligned} $

 

위의 식만 성립하게 놓으면

결과는 같습니다.

 

의심스러우면

여러분이 직접 한번 확인해 보세요~

 

 

 

문제4)

3x+2y-1=0에 수직이고

(1, -5)를 지나는 직선의 방정식은?

 

주어진 식을 바꾸면

 

$ \begin{aligned} y=-\frac{3}{2} x+\frac{1}{2} \end{aligned} $

 

수직이므로 (수직이면 기울기의 곱이 -1)

구하려는 직선의 기울기는 $\frac{2}{3}$

 

기울기가 $\frac{2}{3}$이고

(1, -5)를 지나는 직선의 방정식은

 

$\begin{aligned} & y+5=\frac{2}{3}(x-1) \\ & y=\frac{2}{3} x-\frac{17}{3} \\ & 2 x-3 y-17=0\end{aligned}$

 

역시 좀

편하고 간단하게 풀어보면

 

3x+2y-1=0에 수직이다고 하면

x와 y의 계수를 서로 바꾸고

 

2x+3y+c=0

 

부호를 하나만 바꿔줍니다.

 

2x-3y+c=0

 

그래야

aa'+bb'=0이 성립하거든요.

 

역시 이 말이 이해 안 되면

'일차함수 (2)'를 한 번 읽고 오세요~

 

암튼 그래서

 

여기에 (1, -5)를 대입하면

 

c=-17

 

따라서

구하려는 직선의 방정식은

 

2x-3y-17=0

 

풀이가 많이 편하고 간단하죠..?!

 

여러분도 이 방식으로 풀기를

간절히 기원합니다~ ;;

 

참고로

 

x의 부호를 바꿔주고 풀어도 똑같습니다.

 

-2x+3y+c=0

 

여기에 (1, -5)를 대입하면

c=17이 나오고

 

따라서

-2x+3y+17=0  →  2x-3y-17=0

 

 

 

정리하면

 

$y=ax+b$ 에

평행하다  →  $y=a x+\square$

수직이다  →  $ \begin{aligned} y=-\frac{1}{a} x+\square \end{aligned} $

 

$ax+by+c=0$ 에

평행하다  →  $a x+b y+\square=0$

수직이다  →  $b x-a y+\square=0$  (또는 $-b x+a y+\square=0$)

 

 

 

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