일차식의 최대최소 (1)

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

$y=x+3$

 

그래프를 그리고

 

요렇게 x를 넘기고

 

$y-x=3$

 

이제 한번 생각해보겠습니다.

 

이 직선 위에 있는

모든 점의 (y-x)의 값은 3입니다..!!

 

아래 그림에서 점 A, B, C, D

어느 점을 대입해도 (y-x)의 값은 3입니다.

 

그리고 그 값 3은

바로 이 그래프의 y절편입니다..!!

 

너무 당연하지만

아주 중요한 말입니다..!!

 

 

 

한걸음 살짝 앞으로 나갑니다.

 

아래 그림에서

주어진 영역에 속하는 점들 중에

 

어느 점을 대입하면

(y-x)의 값이 최대가 되고

 

어느 점을 대입하면

(y-x)의 값이 최소가 될까요..?

 

찬찬히 한번 생각해 보겠습니다.

 

y-x=k로 놓으면

 

결국은

k의 값의 최대, 최소를 구하라는 의미입니다.

 

x를 넘기면 y=x+k

기울기 1,  y절편 k인 직선이 됩니다.

 

기울기 1에 맞춰서

아무렇게나 하나만 그려보겠습니다.

 

그럼

이 직선 위에 있는 점들의

 

(y-x)의 값은 모르지만

그 값이 어디에 있는지는 알 수 있죠.

 

보이나요..?! 바로 요기..!!

 

하나 더 그려볼까요.

 

이제 이 직선 위에 걸리는 점들의

(y-x)의 값이 어디에 있는지 보이죠..?!

 

감 잡았나요..?!

문제로 돌아와서... 그럼

 

어느 점을 지날 때,

(y-x)의 값이 최대가 되고

 

어느 점을 지날 때,

(y-x)의 값이 최소가 되죠..?

 

바로

 

점 A를 지날 때, 최대가 되고

점 B를 지날 때, 최소가 됩니다..!!

 

나름 열심히 설명했는데

이해가 됐는지 모르겠네요.

 

조금(?) 다른 거

2개나 더 해야 되는데... ;;

 

 

 

주어진 영역에 속하는 점들 중에

 

어느 점을 대입하면

(y+x)의 값이 최대가 되고

 

어느 점을 대입하면

(y+x)의 값이 최소가 될까요..?

 

문제는 똑같습니다.

(y-x)가 (y+x)로 바뀌었을 뿐

 

그래서

자세한 설명은 생략임다. ;;

 

위에서 한 것과 똑같이 바꿔보면

 

$y+x=k \;\;\rightarrow\;\; y=-x+k$

 

이번에는

기울기 -1,  y절편 k인 직선이 됩니다.

 

기울기 -1에 맞춰서 그려보면

 

점 A를 지날 때, 최대

점 B를 지날 때, 최소..!! 보이죠..?!

 

바로 다음 문제로 넘어갑니다~

 

 

 

주어진 영역에 속하는 점들 중에

 

어느 점을 대입하면

(x-y)의 값이 최대가 되고

 

어느 점을 대입하면

(x-y)의 값이 최소가 될까요..?

 

$x-y=k \;\;\rightarrow\;\; y=x-k$

 

기울기 1,  y절편 -k

 

처음과 똑같이

 

점 A를 지날 때, 최대

점 B를 지날 때, 최소가 되는 건 맞긴 맞는데

 

k의 값의 최대, 최소가 아니라

-k의 값의 최대, 최소가 됩니다.

 

y절편이

k가 아니고 -k이니까요. (이해되죠..?!)

 

따라서

구하려는 (x-y)의 값은 (즉, k의 값은)

 

점 A를 지날 때, 최소

점 B를 지날 때, 최대입니다..!!

 

이해는 여러분의 몫입니다.

저는 막 넘어갑니다. ;;

 

 

 

주어진 영역에 속하는 점 (x, y)에 대하여

 

 

문제1)

(y-x)의 최댓값, 최솟값은?

 

$y-x=k$ 로 놓으면

$y=x+k$

 

점 A(4, 7)을 지날 때, 최댓값

$y-x=7-4=3$

 

점 C(4, 1)을 지날 때, 최솟값

$y-x=1-4=-3$

 

 

문제2)

(y-2x)의 최댓값, 최솟값은?

 

$y-2x=k$ 로 놓으면

$y=2x+k$

 

점 B(2, 4)를 지날 때, 최댓값

$y-2x=4-2\cdot2=0$

 

점 D(6, 4)를 지날 때, 최솟값

$y-2x=4-2\cdot6=-8$

 

 

문제3)

(2y-x)의 최댓값, 최솟값은?

 

$2y-x=k$ 로 놓으면

$y=\frac{1}{2} x+\frac{k}{2}$

 

점 A(4, 7)을 지날 때, 최댓값

$2y-x=2\cdot7-4=10$

 

점 C(4, 1)을 지날 때, 최솟값

$2y-x=2\cdot1-4=-2$

 

참고로

y절편이 $\frac{k}{2}$ 이므로

 

구하려는 k의 값의 최대, 최소는

y절편의 2배입니다.

 

 

문제4)

(y+x)의 최댓값, 최솟값은?

 

$y+x=k$ 로 놓으면

$y=-x+k$

 

점 A(4, 7)을 지날 때, 최댓값

$y+x=7+4=11$

 

점 C(4, 1)을 지날 때, 최솟값

$y+x=1+4=5$

 

 

문제5)

(y+2x)의 최댓값, 최솟값은?

 

$y+2x=k$ 로 놓으면

$y=-2x+k$

 

점 D(6, 4)를 지날 때, 최댓값

$y+2x=4+2\cdot6=16$

 

점 B(2, 4)를 지날 때, 최솟값

$y+2x=4+2\cdot2=8$

 

 

문제6)

(2y+x)의 최댓값, 최솟값은?

 

$2y+x=k$ 로 놓으면

$y=-\frac{1}{2} x+\frac{k}{2}$

 

점 A(4, 7)을 지날 때, 최댓값

$2y+x=2\cdot7+4=18$

 

점 C(4, 1)을 지날 때, 최솟값

$2y+x=2\cdot1+4=6$

 

역시 참고로

y절편이 $\frac{k}{2}$ 이므로

 

구하려는 k의 값의 최대, 최소는

y절편의 2배입니다.

 

 

문제7)

(x-y)의 최댓값, 최솟값은?

 

$x-y=k$ 로 놓으면

$y=x-k$

 

점 C(4, 1)을 지날 때, 최댓값

$x-y=4-1=3$

 

점 A(4, 7)을 지날 때, 최솟값

$x-y=4-7=-3$

 

문제1과 그림은 똑같지만

여기서는 y절편이 -k입니다.

 

 

문제8)

(2x-y)의 최댓값, 최솟값은?

 

$2x-y=k$ 로 놓으면

$y=2x-k$

 

점 D(6, 4)를 지날 때, 최댓값

$2x-y=2\cdot6-4=8$

 

점 B(2, 4)를 지날 때, 최솟값

$2x-y=2\cdot2-4=0$

 

문제2와 역시 그림은 똑같지만

여기서는 y절편이 -k입니다.

 

 

문제9)

(x-2y)의 최댓값, 최솟값은?

 

$x-2y=k$ 로 놓으면

$y=\frac{1}{2} x-\frac{k}{2}$

 

점 C(4, 1)을 지날 때, 최댓값

$x-2y=4-2\cdot1=2$

 

점 A(4, 7)을 지날 때, 최솟값

$x-2y=4-2\cdot7=-10$

 

문제3과 역시 그림은 똑같지만

여기서는 y절편이 $-\frac{k}{2}$입니다.

 

 

 

머리 아프게 각각의 경우를 따져가며

최댓값, 최솟값을 구했지만

 

사실 주어진 식에 관계없이

점 A, B, C, D를 모두 대입해서 각각 값을 구한 후

 

가장 큰 값을 최댓값으로

가장 작은 값을 최솟값으로 해도 틀리지 않습니다.

 

하지만

 

여기서 이해 안 하고 대충 넘어가면

다음에 나오는 내용들이 많이 어려워집니다.

 

나중을 위해서라도

찬찬히 여러번 읽으면서 꼭 이해하시길 바랍니다~

 

그래도 이해가 잘 안 된다구요..?!

그럼 옆에 공부 좀 하는 친구에게 악착같이 물어보세요~

 

뭐... 같이 공부하는 거죠... ^-^// ;;

 

 

 

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