회전시킨 점의 좌표

이 글에 대한 AI '클로드'의 평가

 

(상세한 평가는 이 글 마지막에 있습니다.)

 

 

 

점 (x, y)를 원점을 중심으로 θ만큼 회전시킨 점의 좌표는

 

$(x\cos\theta-y\sin\theta,\;x\sin\theta+y\cos\theta)$

 

행렬로 나타내보면

 

$\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\cos\theta-y\sin\theta \\x\sin\theta+y\cos\theta\end{pmatrix}$

 

그림으로 그려보면

 

 

 

 

문제1)

점 (3, 2)를 원점을 중심으로 60˚만큼 회전시킨 점의 좌표는?

 

$\begin{aligned}&(3\cos\frac{\pi}{3}-2\sin\frac{\pi}{3},\;3\sin\frac{\pi}{3}+2\cos\frac{\pi}{3})\\&=(\frac{3}{2}-\sqrt{3},\;1+\frac{3\sqrt{3}}{2})\\\end{aligned}$

 

그림으로 그려보면 이런 상황입니다.

 

 

 

 

문제2)

점 (3, 2)를 원점을 중심으로 90˚만큼 회전시킨 점의 좌표는?

 

$\begin{aligned}&(3\cos\frac{\pi}{2}-2\sin\frac{\pi}{2},\;3\sin\frac{\pi}{2}+2\cos\frac{\pi}{2})\\&=(-2,\;3)\\\end{aligned}$

 

닮음을 이용해서 풀어보면

 

 

 

 

문제3)

점 (cosθ, sin θ)를 원점을 중심으로 90˚만큼 회전시킨 점의 좌표는?

 

$\begin{aligned}&(\cos\theta\cos\frac{\pi}{2}-\sin\theta\sin\frac{\pi}{2},\;\cos\theta\sin\frac{\pi}{2}+\sin\theta\cos\frac{\pi}{2})\\&=(-\sin\theta,\;\cos\theta)\\\end{aligned}$

 

그림으로 그려보면 이런 상황입니다.

 

닮음을 이용해서 풀어보면

 

또, 각을 아래 그림과 같이 해석하면

회전시킨 점의 좌표를 간단하게 바로 구할 수도 있습니다.

 

$\begin{aligned}&(\cos(\frac{\pi}{2}+\theta),\;\sin(\frac{\pi}{2}+\theta))\\&=(-\sin\theta,\;\cos\theta)\\\end{aligned}$

 

이해가 잘 안되면 '삼각비로 좌표 나타내기' 참고요~

 

이 문제는 풀이가 세 가지나 있네요.

여러분의 취향(수학실력)은 어느 풀이인가요..?

 

쌤들은 여러분의 풀이를 보면

여러분의 수학실력을 얼추 가늠할 수 있답니다. ;;

 

 

 

 

문제4)

점 (5, 4)를 (1, 2)를 중심으로 시곗바늘이 도는 방향으로 90˚만큼 회전시킨 점의 좌표는?

 

(1, 2)를 원점으로 옮기면

(5, 4)는 (4, 2)로 옮겨집니다.

 

이제 (4, 2)를 -90˚만큼 회전시키고

 

$\begin{aligned}&(4\cos(-\frac{\pi}{2})-2\sin(-\frac{\pi}{2}),\;4\sin(-\frac{\pi}{2})+2\cos(-\frac{\pi}{2}))\\&=(2,\;-4)\\\end{aligned}$

 

다시 원상복귀(?)하면 (3, -2)가 됩니다.

 

이 문제는 걍

닮음을 이용해서 푸는 게 훨씬 쉬울 듯요.

 

 

 

 

위에서 닮음을 이용한 풀이들은

달랑 그림만 그려놓고 설명은 하지 않았는데

 

이건 여러분이

스스로 해결하는 걸로... ^-^// ;;

 

 

 

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